Resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales usando LU, QR y Pseudoinversa Moore-Penrose

Sistema de ecuaciones lineales

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&+\dots &+a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}&+\dots &+a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}&+\dots &+a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{matrix}}}$

Donde ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ son las incógnitas y los números ${\displaystyle a_{ij}\in \mathbb {K} }$ son los coeficientes del sistema. Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

(1)${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}}$

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes. La matriz A se llama matriz de coeficientes de este sistema lineal. A b se le llama vector de términos independientes del sistema y a x se le llama vector de incógnitas.

Extracto tomado de:https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales

En esta entrada se describirán cuatro estrategias para resolver los sistemas de la forma Ax=b, es decir, estrategias para hallar el valor del vector de incógnitas x. 

Las estrategias son:

1.Estrategia tradicional, calculando la inversa de A (https://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordan)
2.Estrategia usando descomposición LU (https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_LU)3.Estrategia usando descomposición QR (https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_QR)4.Estrategia usando Pseudoinversa Moore-Penrose (Transpuesta)(https://en.wikipedia.org/wiki/Moore%E2%80%93Penrose_pseudoinverse)

El video explicativo: